近似的な補間の連続化:ピカールの逐次近似法

更新日時:2021/05/24

数学近似的な補間関数

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前談

プロローグ

どうも、安田です。

今回はピカールの逐次近似法というものを紹介していこうと思います。 最近似たものを発見して証明方法を募ったところ既出のものだと教えて頂きました。(教えて下さった方ありがとうございます。)

ピカールの逐次近似法とは以下のようなものです。

微分方程式 \[ \frac{dy}{dx}(x) = f(x, y(x)), \quad y(\alpha) = a \] がある。 \begin{equation} \begin{cases} g_0(x) = a \\ \displaystyle g_{n+1}(x) = g_0(x) + \int_{\alpha}^{x} f(t, g_n(t))dt \end{cases} \end{equation} とした時 \[ \lim_{n \to \infty} g_n(x) = y(x) \] である。

また、ピカールの逐次近似法は、名前の通り少しずつ$g_n(x)$が$y(x)$に近づいていきます。

発見した経緯

私がこれを発見した経緯は 近似的な補完 を離散的な関数に対するものから連続的な関数に対するものへと拡張しようという試みからです。
言い換えればつまり、近似的な補間はピカールの逐次近似法の離散バージョンのようなものだったようです。

私はオリジナルの研究成果だと思って論文章でこれを最後に書きましたので、悲しいです。
まあ発見できたことには変わりないので、しっかり記事にしていきます。

連続的な近似的な補間の導出

近似的な補間とは、こちらの記事で示したものです。 これを連続的にするには少し形が悪いので、差分方程式の形に書き直します。

\[ \Delta a_n = f(a_n), \quad a_1 = a \] となる$a_n$がある。このとき \begin{equation} \begin{cases} g_1(1) = a \\ \displaystyle g_{m+1}(n) = g_m(1) + \sum f(g_m(n)) \end{cases} \end{equation} を満たすような$g_m(n)$は \[ a_n = g_m(n) \quad (n \leq m) \] を満たす。また$m$の極限を取れば \[ a_n = \lim_{m \to \infty} g_m(n) \]

差分の形で表すと、逐次近似法の式の離散バージョンに近いことがよくわかります。($g_m(n)$の初期条件はこちらの方がゆるいので少し違います。)
また、$f$が$f(x, y)$という形を取っていないことも逐次近似法と少し違うように見えますが、近似的な補間の証明から、$f(x, y)$の形でも 問題ないことは簡単にわかります。
それでは、これを連続的なものに変形します。また、これはあくまで予想段階です

\[ \frac{dy}{dx}(x) = f(y(x)), \quad y(\alpha) = a \] となる$y$がある。このとき \begin{equation} \begin{cases} g_1(\alpha) = a \\ \displaystyle g_{m+1}(x) = g_m(\alpha) + \int_{\alpha}^{x} f(g_m(t))dt \end{cases} \end{equation} を満たすような$g_m(x)$は \[ \lim_{m \to \infty} g_m(x) = y(x) \] を満たす。

こちらも、$f(x,y)$型対応可能です。また、初期条件も緩くなっています。
つまり、$\text{(ピカールの逐次近似法)} \subset \text{(近似的な補間の連続バージョン)}$ということになります。
このように近似的な補間を連続化できました。

これが予想段階というのは、ピカールの近似法と同じ証明が使えるかわからないからです。証明を調べましたが知らない知識が多かったのでよくわかりませんでしたので、理解できませんでした。

それに対して、近似的な補間の連続バージョンでは、$(\alpha, a)$を通る関数なら$g_1(x)$はなんでも良いという形を取っています。このシステムをとるメリットとしては、離散バージョンでは$``$極限に行かずとも急に差分方程式の解が出ることがあるということがありました。おそらく連続バージョンでもあると考えています。

もし、近似的な補間が常に極限で一致するという証明が可能であれば、教えていただけると嬉しいです。

そういうわけで今回は終わりにしようと思います。近似的な補間と逐次近似法を比較しようとも思ったのですが、一方が他方を含んでるものを比較するのも変だと感じましたので、やめておきました。
それでは、お疲れ様でした。

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