【数列】漸化式から求める近似式:微分近似/積分近似

更新日時:2020/10/29

数学数列数列Y番外編近似式

GOODされた数:141 回

前提など

プロローグ

どうも、安田です。
私は現在数列$Y$と名付けた難解な漸化式を持つ数列について研究をしているのですが、解法を探している過程で数列の近似方法を発見しました。
本記事ではその近似方法、微分近似と積分近似について書き留めます。

数列$Y$で微分近似と積分近似を使った記事

定義しておくこと

本記事では以下を数列$a$と定義しておきます。

\begin{equation} \begin{cases} a_{n+1} = a_n + f(a_n) \\ a_1 = x \end{cases} \end{equation}

積分近似

積分近似の概要

積分近似では、その名から察せる通り、数列を面積的な比較により近似をします。
ここで、$y = f(x)$ のグラフを考えます。$x=a_k$ から次の項に進むとき、次の項は$ x + f(x)$ で表されますので、これをグラフに表すと以下のようになります。

画像が読み込めませんでした
この時、$y=0, y=f(x), x=a_k, x=a_{k+1}$で囲まれる図形と$y=0, x=a_k, x=a_{k+1}$また$(a_k, f(a_k))$と$(a_{k+1}, f(a_{k+1}))$を結んだ線分で囲まれる図形の面積を比べる。
図から双方が近い値を取る事が分かるので、これらを比べると \begin{eqnarray*} \int_{a_k}^{a_{k+1}} f(x)dx &\simeq& \frac{1}{2} \left( a_{k+1} - a_k \right)\left( f(k+1) + f(k) \right) \\ \int_{a_k}^{a_{k+1}} f(x)dx &\simeq& \frac{1}{2} f(a_k)\left( f(k+1) + f(k) \right) \\ \int_{a_s}^{a_{t}} f(x)dx &\simeq& \frac{1}{2} \sum_{k=s}^{t-1} f(a_k)\left( f(k+1) + f(k) \right) \end{eqnarray*} である。

このように求める事が出来ました。また、積分近似では$f''(x)$の絶対値が小さいほど、傾きの変化が少なくなることから近似が一致していきます

解決済み数列での積分近似の利用

積分近似で近似をすると漸化式(の近似式)が複雑になりますので、積分近似を漸化式の近似解解法として利用するのは難しいです。
そこで、あらかじめ解決された数列において積分近似を使います。

$a_n = \sqrt{n}$ の時を考える。
\[ f(a_n) = a_{n+1} - a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \] である。また、 \begin{eqnarray*} a_{n+1}^2 &=& a_n^2 + 1 \\ a_{n+1} &=& \sqrt{a_n^2+1} \end{eqnarray*} より \[ f(a_n) = a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n^2 + 1} - a_n \] なので、 \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x \] である。この数列で積分近似を用いると \begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{s}}^{\sqrt{t}} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right)dx &\simeq& \frac{1}{2} \sum_{k=s}^{t - 1} \left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right)\left( \sqrt{k+2} - \sqrt{k} \right) \\ 2\int_{\sqrt{s}}^{\sqrt{t}} \sqrt{x^2 + 1}dx - \left[x^2\right]_{\sqrt{s}}^{\sqrt{t}} &\simeq& \sum_{k=s}^{t-1} \left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right)\left( \sqrt{k+2} - \sqrt{k} \right) \\ 2\int_{\sqrt{s}}^{\sqrt{t}} \sqrt{x^2 + 1}dx - t + s &\simeq& \sum_{k=s}^{t-1} \left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right)\left( \sqrt{k+2} - \sqrt{k} \right) \end{eqnarray*} ここで、 \begin{equation} \int \sqrt{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2+1} + \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \right) + C \end{equation} なので、 \begin{eqnarray*} \left[ x\sqrt{x^2+1} + \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \right]_{\sqrt{s}}^{\sqrt{t}} - t + s &\simeq& \sum_{k=s}^{t-1} \left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right)\left( \sqrt{k+2} - \sqrt{k} \right) \\ \sqrt{t^2 + t} - t - \sqrt{s^2 + s} + s + \log\left(\frac{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}}{\sqrt{s}+\sqrt{s+1}}\right)&\simeq& \sum_{k=s}^{t-1} \left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right)\left( \sqrt{k+2} - \sqrt{k} \right) \end{eqnarray*} である。

このように、不等式を算出する事ができました。左辺右辺を入れ替えると、シグマの計算の近似となっている事が分かります。

\begin{eqnarray*} &&\sum_{k=s}^{t-1} \left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right)\left( \sqrt{k+2} - \sqrt{k} \right) \\ &\simeq& \sqrt{t^2 + t} - t - \sqrt{s^2 + s} + s + \log\left(\frac{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}}{\sqrt{s}+\sqrt{s+1}}\right) \end{eqnarray*}

この近似は$s$が大きくなるほど精度が上がりますが、$s=1, t=10000$の時ですら、左辺または右辺な値が$4.5$程度なのに対して誤差は$0.005$に満たないほど精度が高いです

また、この数列において、$n$を無限に飛ばす事を考えます。

\[ f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} - 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - 1 \] より \[ \lim_{x \to \infty} f'(x) = 1 - 1 = 0 \] である。よって、$x$を無限に飛ばすと傾きが収束するので、面積の近似は完全に一致する。ゆえに \begin{equation} \lim_{s \to \infty}\lim_{t \to \infty} \left\{ \sum_{k=s}^{t-1} \left(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} \right)\left( \sqrt{k+2} - \sqrt{k} \right) - \left( \sqrt{t^2 + t} - t - \sqrt{s^2 + s} + s + \log\left(\frac{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}}{\sqrt{s}+\sqrt{s+1}}\right) \right) \right\} = 0 \end{equation} である。

このように積分近似では、シグマ計算の極限を求める事も可能となります。
以上が積分近似でした。

微分近似

微分近似の概要

微分近似では、積分近似のようにグラフの形を見るのではなく、式に着目します。

\[ g(xh) = a_x \]

となる関数$g$について考えます($h$は定数)。

数列$a$の漸化式から、 \begin{eqnarray*} g((x+1)h) &=& g(xh) + f(g(xh)) \\ g(xh + h) - g(xh) &=& f(g(xh)) \\ \frac{g(xh + h) - g(xh)}{h} &=& \frac{1}{h} f(g(xh)) \end{eqnarray*} ここで、$t=xh$と置くと、 \begin{eqnarray*} \frac{g(t + h) - g(t)}{h} &=& \frac{1}{h} f(g(t)) \\ \frac{d}{dt} g(t) &\simeq& \frac{1}{h} f(g(t)) \\ \frac{1}{f(g(t))} dg(t) &\simeq& \frac{dt}{h} \end{eqnarray*}

このように関数$g$が満たす微分方程式の近似式を得る事ができます。これを逆に考えると、以下の事が言えます。

\[ \frac{1}{f(g(t))} dg(t) = \frac{dt}{h} \] を満たす関数$g$を用いて \[ a_n \simeq g(nh) \] と近似出来る。

この時、$h \to 0$ で完全一致するように見えますが、実はそうはなりません

$g$が満たす微分方程式において $t = xh$ である事を考慮すると、右辺は$x$の関数となり、左辺は$g(xh)$の関数となるため、$g(xh)$は$h$に依存しない事が分かります。 すなわち、$g(nh)$は$h$に依存しないので、$h=1$の時と$h \to 0$の時の近似も変わらない事が分かります。よって一致するという事はあり得ません。

また、これを活かすと以下のように言い換えられます。

\[ \frac{1}{f(g(x))} dg(x) = dx \] を満たす関数$g$を用いて \[ a_n \simeq g(x) \] と近似できる。

また、この微分方程式を見ると分かりますが、この近似方法は$\frac{1}{f(u)}$の積分が可能であれば$g(x)$を求める事が出来ます
微分近似を用いて漸化式の解にアプローチした例ば以下の記事にあります。

【数列】数列Yとの闘い p4:近似式【シリーズ記事】

微分近似の特徴

微分近似は視覚的な近似方法ではなく式からの近似方法ですので、どういった場合に近似の精度が上がるのか分かりずらいです。
そこで、微分近似の式と漸化式を、差分記号(定義はここを参照)を用いて表して視覚的に比較できるようにします。

微分近似を言い換えると \begin{equation} \begin{cases} \Delta a_n = f(a_n) \\ \frac{d}{dx} g(x) = f(g(x)) \end{cases} \Rightarrow a_n \simeq g(n) \end{equation}

ここから、微分近似は$g'(x)$の変化が少ない方が近似の精度が向上するという事が分かります。$g'(x)$は$f(g(x))$と等しいですので、

\[ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \]
の絶対値が小さい場合に精度が向上する事が分かります。 また、$g'(x)$は数列$a$の変化と少しは対応していますので、すなわち$|f(a)|$の大きさと対応します。
以上の事から、$|f(x)|$と$|f'(x)|$が小さい時に精度が向上するという事が分かります。
以上、微分近似でした。

微分近似や積分近似は、離散的なものを連続的なものと比べて近似するというものでした。是非皆さんもこのような近似を探してみてると面白いと思います。
それでは、お疲れさまでした。
この記事いいね!


コメント送信フォームまで飛ぶ

この記事には245件のコメントがあります。

【数列】漸化式から求める近似式:微分近似/積分近似|Mathlize
gckyissklg http://www.g1j05xd0j039mhrpj9i26y694sn281nds.org/
http://www.g1j05xd0j039mhrpj9i26y694sn281nds.org/">agckyissklg
[url=http://www.g1j05xd0j039mhrpj9i26y694sn281nds.org/]ugckyissklg[/url]
【数列】漸化式から求める近似式:微分近似/積分近似|Mathlize
http://www.g71k75266m02i7d6tpu41zw3tj7pj2tys.org/">allciqoohsk
[url=http://www.g71k75266m02i7d6tpu41zw3tj7pj2tys.org/]ullciqoohsk[/url]
llciqoohsk http://www.g71k75266m02i7d6tpu41zw3tj7pj2tys.org/
2.4 Amp Charger https://www.lashuacashotel.com/blog/best-usb-c-pd-chargers-for-2022-cnet/
ルイヴィトン財布コピー激安代引き https://travisxiax95575.educationalimpactblog.com/37027016/ルイヴィトン財布コピー激安代引き
Infared Sauna Room https://www.yanasibathroom.com/infared-sauna-room.html
ルイヴィトン財布スーパーコピー https://dominicka4ym8.blogdemls.com/17054501/ルイ-ヴィトン財布コピー-for-dummies
Fully Adjustable Silicone Vibrating Penis Ring https://www.cnt-works.com/fully-adjustable-silicone-vibrating-penis-ring.html
Pp Webbing Transportation https://www.syycupmachine.com/blog/glass-onion-a-knives-out-mystery-review-hilarious-sequel/
Ceramic Honeycomb Filter https://www.surf-duonuo.de/blog/the-pitchs-holiday-gift-guide-2022/
ルイヴィトン財布スーパーコピー https://travist3cx4.laowaiblog.com/17136343/little-known-facts-about-ルイ-ヴィトン財布コピー激安代引き
EV Charging Cable https://www.mustang-tec.com/
ルイヴィトン財布コピー激安代引き https://tysonb6oh7.blognody.com/17290627/ルイ-ヴィトンコピー財布-things-to-know-before-you-buy
50mm Glass Marbles https://www.notprops.it/blog/12-dry-shampoos-that-are-safe-to-use-amid-massive-recalls/
Automobile Clutch Release Bearing 0K20116510 https://www.xybbearings.com/automobile-clutch-release-bearing-0k20116510.html
イヴィトン財布コピー激安代引き https://jaredviry97531.dailyblogzz.com/19460567/ルイヴィトン財布コピー激安代引き
Android Code Scanner Impinj Multireader https://www.legourmetdelivery.it/blog/rfid-news-roundup/
M12 Connector https://www.hyfdwaterproofconnector.com/m12-connector
ルイヴィトン財布コピー激安代引き https://griffinjcpx86420.look4blog.com/54477221/ルイヴィトン財布コピー激安代引き
755nm 808nm 1064nm Diode Laser https://www.winhere.es/blog/MoXl-cureus-gingival-pigmentation-removal-with-a-high-power-diode-laser/
Visual Ear Cleaner Otoscope https://www.ypincheng.com/visual-ear-cleaner-otoscope
ルイヴィトン財布コピー激安代引き https://donovankvrh20753.dbblog.net/46064374/ルイヴィトン財布コピー激安代引き
Auto Spray Machine https://www.greatglasswasher.com/blog/4pxe-mercado-de-equipamentos-de-secagem-por-pulveriza-o-no/
Flexible Silicone Electronic Products Vacuum Casting https://www.shburycnc.com/flexible-silicone-electronic-products-vacuum-casting.html
ルイヴィトン財布コピー激安代引き https://dhjmjp.exblog.jp/
Adult Luxury Freestanding Bathtub https://www.yanasibathroom.com/adult-luxury-freestanding-bathtub.html
Whisky Bottle http://cmdalayout.com/blog/HYwR-irish-coffee-recipe/
ルイヴィトン財布コピー http://b17.chip.jp/yui37560
Big Spot Size Hybrid Diode Laser https://www.wdmedicshop.de/blog/rpcj-sensus-healthcare-introduces-silk™-laser-hair-removal/
617 Series C x C x FI Tee https://www.ecfitfitting.com/617-series-c-x-c-x-fi-tee.html
ルイヴィトンコピー財布 http://b17.chip.jp/yui37560
Educational Building Blocks Toys https://www.baxinpneumatic.com/blog/psfa-robot-cars-motorcycles-hoped-for-this-christmas-|-imperial-republican/
Corrugated Graphite Tapes https://www.seal-china.com/corrugated-graphite-tapes.html
30 Hp Soft Starter https://www.eoesupplyla.es/blog/n5vx-stackpath/
ルイヴィトン財布コピー激安代引き http://gifu.areablog.jp/ghthtg
Security PCB https://www.pcb-yf.com/security-pcb.html
イヴィトン財布コピー激安代引き http://htyr446.jugem.jp/
Rotavirus Adenovirus (Feces) Combo Rapid Test Kit https://www.bailimedical.com/rotavirus-adenovirus-feces-combo-rapid-test-kit.html
Aftermarket Exhaust Manifold https://www.e-gatesupply.es/blog/nmcj-the-first-cut-is-the-deepest-bimmerlife/
Floral Print Bowknot Satin Ribbon Long Satin Ribbon Headband Hair Rope https://www.nbunionsource.com/floral-print-bowknot-satin-ribbon-long-satin-ribbon-headband-hair-rope.html
ルイヴィトン財布スーパーコピー https://plaza.rakuten.co.jp/adrjkl1/
Polytetrafluoroethylene And Copper Powder Guide Ring https://www.prohuakuang.de/blog/cy9o-oil-and-gas-seal-market-to-rebound-according-to/
Metal 5 - Person Seating Group https://www.ymoutdoor.com/metal-5-person-seating-group.html
ルイヴィトン財布コピー激安代引き http://b17.chip.jp/yui37560
Pvc Foam Sheet Machine https://www.prohuakuang.de/blog/3ejz-learn-the-7-types-of-additive-manufacturing-|-techtarget/
Furniture Screw https://www.neville-taylor.com/blog/types-of-screws-[uses-facts-advantages]-engineerine/
G-Spot Vibrators https://www.zmamil.com/g-spot-vibrators
グッチ指輪コピー https://www.zhu555.jp/Gucci_Rings/
スーパーコピー時計最高級ブランド時計コピーの販売店 https://clinicaoculus.com/es/farmacia
Triangular Bandage https://www.bailimedical.com/triangular-bandage.html
Electric Heating System https://www.bearingsboyue.de/blog/mv3r-bloomberg-are-you-a-robot/
スーパーコピー級品ブランドコピー販売 https://www.antrenmanyayincilik.com/
Telecommunication pliers https://www.yongrong-tools.com/telecommunication-pliers.html
股本赌博 https://www.cngtl.com/
Basmati Rice Processing Plant https://www.gmdrillingrig.com/basmati-rice-processing-plant/
Automatic Eyeliner Pencil https://www.eyecoscn.com/automatic-eyeliner-pencil
スーパーブランドコピーアクセサリー https://www.aamod.it/category/rassegne-e-convegni/
ブランド服コピーを大特集スーパーコピー服痞客邦 https://www.totecopy.com/copyn-194-b0.html
Long Lever Micro Switch https://www.weipengswitch.com/long-lever-micro-switch.html
Scooty https://www.gmdrillingrig.com/scooty/
Sri Balamurugan Modern Rice Mill https://www.gmdrillingrig.com/sri-balamurugan-modern-rice-mill/
Liquid Eyebrow Pen https://www.eyecoscn.com/liquid-eyebrow-pen
ブランドコピー口コミ買った送料無料ポイント還元 https://www.hacopy.jp/dior1/
スーパーコピー時計プロのブランドコピー専門店 https://channelfocuscommunity.net/cfna18-agenda
Fiber Optic Network Cable https://www.makky.fr/blog/bpar-samsung-debuts-detachable-camera-accessories-for-galaxy-s23-series/
Freight Service from World Wide to Mid Asia Via Main Ports of China https://www.amoiyns.com/freight-service-from-world-wide-to-mid-asia-via-main-ports-of-china.html
3 Buttons Flip Folding Uncut Car Blank Key Shell Remote Fob Cover for Ford Focus Fiesta C-Max S-Max Ka Mondeo Galaxy https://www.ledycarkey.com/3-buttons-flip-folding-uncut-car-blank-key-shell-remote-fob-cover-for-ford-focus-fiesta-c-max-s-max-ka-mondeo-galaxy.html
Felt Flap Disc https://www.portablesaunarooms.de/blog/bpar-stackpath/
時計スーパーコピー代引き可能 https://www.rae-akustik.de/?/conquist/
long handle scraper dish brush https://www.wellway-group.com/products/long-handle-scraper-dish-brush.html
Small Nitrile Gloves https://www.greatscaffold.fr/blog/f6u--how-to-get-rid-of-pet-hair-and-clean/
シャネルスーパーコピー時計ブランド級品激安通販専門店 https://re.parts/part/ngk/bp5efs
スーパーコピーブランドルイヴィトン https://www.koer.ee/Koeral_on_koht_aeg-ajalt_lahti.html
Wrinkle Surface Prepainted Aluzinc PPGL Steel Coil https://www.witop-steel.com/wrinkle-surface-prepainted-aluzinc-ppgl-steel-coil.html
Recycled Polyester Yarn Manufacturers https://www.blindsfabrics.it/blog/plhe-rev-it-s-new-axis-h-o-overpants-keep/
Tube Marine Heat Exchanger http://kaizenteq.org/blog/rfet-stackpath/
10A Brazil Standard Socket Function Module https://www.floorsocket.com/10a-brazil-standard-socket-function-module.html
ブランド激安メンズ服コピーメン痞客邦 https://www.ttoc.org/index.php/ttoc/affiliates/paralympics
ルイヴィトンブランドコピーブランド偽物ブランドスーパー https://kobol.es/fr/Productos/centrifuges-gpc-gmc-gsc
Non Contact Linear Encoder http://prod.asa.bond.software/blog/rowp-stackpath/
135T-15.0 PCB Screw Terminal Block https://www.nb-terminalblock.com/135t-15-0-pcb-screw-terminal-block.html
5% Moisture 25kg Per Drum Hydroxypropyl Cellulose https://www.goomoobismuth.com/5-moisture-25kg-per-drum-hydroxypropyl-cellulose.html
Brown Fused Alumina Price http://www.n-radescu.com/blog/-gml-oct-what-happens-when-you-mix-aluminum-foil-and/
ブランドコピー通販スーパーコピーブランド級品専門店 https://museologia-portugal.net/blog-post?ID=10762&DATE=Apr_18
Ultrasonic Homogenizer Sonicator http://metrocard.net.cn/blog/ufnb-what-is-an-autoclave-how-will-it-help-in/
PCBA Prototype https://www.hitech-pcba.com/pcba-prototype.html
日本最大級時計スーパーコピー好きのサイト優良店 https://www.zhu555.jp/product-p2527770.html
Waterproof Dry Bag https://www.sealockdrybag.com/waterproof-dry-bag
ブライトリングスーパーコピー通販ゼニス偽物時計通販 https://www.zhu555.jp/product-p2377616.html
50a Anderson Connector http://p40001.vmms.vn/blog/xvf6-xfx-radeon-rx-xt-spotted-with-x-pin-power/
ルイヴィトンブランドコピーブランド偽物ブランドスーパー https://www.zhu555.jp/product-p2307680.html
PVC Waterproof First Aid Kits https://www.kebonfirstaid.com/pvc-waterproof-first-aid-kits.html
Wool Fabric Recycling Opener Machine https://www.ipcsa-lpa.fr/blog/qveo-rifil-launches-recycled-infinity-yarn-just-style/
Green PCB Screw Terminal Block https://www.nb-terminalblock.com/green-pcb-screw-terminal-block.html
Kingtech Kevlar Fabric Recycling Machine https://www.idealeaqi.it/blog/qveo-rifil-launches-recycled-infinity-yarn-just-style/
スーパーコピーブランド時計コピー人気激安専門店伊藤宝飾 https://www.zhu555.jp/product-p1791007.html
Arc Pot Stainless Steel https://www.ldjxpartsgroup.it/blog/wcf1-new-rachael-ray®-cook-+-create-cookware/
メンズ腕時計スーパーコピーブランドバッグ https://www.zhu555.jp/product-p1791748.html
Refreshing Moisturizing Waterproof Sunscreen Cream https://www.wilsoncosmetic.com/refreshing-moisturizing-waterproof-sunscreen-cream.html
ブランド通販ヴィトンコピースーパーコピーレプリカ https://www.zhu555.jp/product-p1793204.html
Gift Box Set Notebook https://www.aiyidesz.com/gift-box-set-notebook3.html
Mechanical Grapple https://www.bagmakingmachineaixia.es/blog/u24a-stackpath/
Rechargeable Nail Dust Collector Fan With Filter 40w https://www.led88.com/rechargeable-nail-dust-collector-fan-with-filter-40w.html
ブランドピアジェブランドコピー通販ウブロ https://www.zhu555.jp/product-p1793508.html
P5 Outdoor Rental Led Display https://www.jewrs.com/blog/-wbl-global-interactive-kiosk-market-to-register-a-strong-growth/
偽物ブランド市場に潜入スーパーコピーの時計韓国の闇市 https://www.zhu555.jp/product-p2536227.html
Type C Charger https://www.dtoilpjointco.it/blog/igby-smartphone-accessories:-60w-dual-usb-c-a-car-charger-$7-50-50-off-more/
Тефлоновый стержень из тефлона с наполнением из 15 % графита https://www.kaxiteseals.ru/15-graphite-filled-ptfe-teflon-rod-bar.html
タグホイヤーコピー販売店ブランド偽物通販代引きブランド https://www.zhu555.jp/Category-c12792.html
Polyester Twill Fabric For Patches http://www.mqmcn.com/blog/l0cn-geek-daily-deals-november-wrap-yourself-up-in-this/
Резиновая прокладка из витона товарного сорта 70 по дюрометру https://www.kaxiteseals.ru/70-durometer-commercial-grade-viton-rubber-gasket-sheet.html
ブランドコピー激安通販口コミスーパーコピー代引き販売店 https://www.zhu555.jp/Category-c12130.html
Night Glare Polyester Flame Retardant Yarn https://www.lida-yarn.com/night-glare-polyester-flame-retardant-yarn.html
Corrugated Teflon Tubing http://affm.lu/blog/ypod-elecci-n-de-la-tuber-a-de-ptfe-una/
Peppermint Essential Oil Bulk https://www.escalatoraixuan.es/blog/ecx5-how-to-get-rid-of-all-the-smells-in/
ランゲゾーネ時計コピー財布ブランドコピー https://www.zhu555.jp/product-p2318895.html
40A Switching Capability Automotive Relay https://www.huaguan-relays.com/40a-switching-capability-automotive-relay.html
Yuken Vane Pump Pvr1050 http://www.mybible.online/blog/mcse-vane-pump-txb-b-r-d/
Fuel Nozzle DLLA146P1297 https://www.nopter.com/fuel-nozzle-dlla146p1297.html
ロレックススーパーコピー時計コピー通販専門店 https://www.zhu555.jp/Category-c59047.html
Common Rail Fuel Injector Control Valve F00RJ00375 https://www.nopter.com/common-rail-fuel-injector-control-valve-f00rj00375.html
Gasoline Motor Pressure Pump http://chiayi.meefun.org/blog/rtkk-groundwork-4-gal-backpack-lithium-ion-sprayer-lawn-landscape/
ブランドコピー財布専門店スーパーコピー財布 https://www.zhu555.jp/product-p2307098.html
スーパーコピーブランド専門店代引き https://www.zhu555.jp/product-p1793687.html
Intelligent Head Massager With Large Moto https://www.jmgax.com/intelligent-head-massager-with-large-moto.html
Align Power Feed Parts http://www.waipai.ren/blog/qfkk-cross-feed-hackaday/
Common Rail Fuel Injector 0445120007 https://www.nopter.com/common-rail-fuel-injector-0445120007.html
月ロレックススーパーコピーブランド時計代引き https://www.zhu555.jp/product-p2336131.html
Spring Pop Lollipop http://www.douliou.meefun.net/blog/d97t-in-ma-youre-not-allowed-to-pass-out-this/
豊富な品揃えノベルティモールの販促品を多数取扱い https://www.zhu555.jp/product-p2331706.html
45 Type FC Optical Fiber Module https://www.floorsocket.com/45-type-fc-optical-fiber-module.html
Belt Branch Chipper http://mdj.cargotrack.net/blog/a7x7-stackpath/
よく見かけるブランド財布のスーパーコピー品ってなに https://www.zhu555.jp/product-p2297087.html
8 Oz Beverage Bottle https://www.gahomirrorshop.de/marinevorst/
029141025B https://www.euro-automotive.com/029141025b.html
Travel Cosmetic Organizer https://www.startravelproducts.com/travel-cosmetic-organizer.html
ロレックスサブマリーナスーパーコピー激安販売 https://www.zhu555.jp/product-p2293895.html
Figure Skating Training Clothes https://www.keyutablewareco.es/mascarilla-quirurgica-loop-para-servicio-de-comida/
Simplex Round G657A Fiber https://www.gemaivehicleshop.de/kindermode/
スーパーコピーブランド時計時計コピー通販専門店掲示板 https://www.zhu555.jp/product-p2363322.html
MB294519 Leaf Spring https://www.zlleafspring.com/jinbei-truck-leaf-spring.html
RFID Blocking Aluminum Credit Card Case with Zipper https://www.bohowallet.com/rfid-blocking-aluminum-credit-card-case-with-zipper.html
Long Sleeve T Shirt Women https://www.orthopedicjiakaico.it/strumenti-di-presa-per-la-chirurgia-del-ginocchio/
ロレックススーパーコピーデイトジャストコンビ https://www.zhu555.jp/product-p2517299.html
RGB Series Solar Light https://www.niyuesolar.com/rgb-series-solar-light.html
コピー商品で急成長の中国スマホコピーに泣く韓国経済 https://www.zhu555.jp/product-p1791079.html
China Welded Wire Mesh Sheet https://www.ledyanitysupply.com/year-warranty/
ブランド時計コピー口コミブランド時計コピー口コミ https://www.zhu555.jp/product-p2286846.html
Jewelry Holders For Necklaces https://www.yitaymachineshop.it/cereale-del-frumento-del-riso/
CNC Machining Rapid Prototype https://www.gujaratitrade.com/CNC-Machining-Rapid-Prototype
What is Dope Dyed rPET FDY https://www.tradejapanese.com/news/What-is-Dope-Dyed-rPET-FDY.html
最高品質スーパーコピーブランド級品安心通販専門店 https://www.zhu555.jp/product-p2339978.html
Decorative Wall Acoustic Panels https://www.shewulabelco.de/etikettenmaschine-deutsch/
Pcb Assembly And Manufacturing https://www.slitterhonlico.de/howo-kipper-preis/
What Are The Cruise Ship Electric Linear Actuators https://www.tradepersian.com/news/What-Are-The-Cruise-Ship-Electric-Linear-Actuators.html
スーパーコピー時計おすすめ https://www.zhu555.jp/product-p2302971.html
日本全国送料無料歓迎購入スーパーコピー時計専門店 https://www.zhu555.jp/product-p2345770.html
Finish Plywood https://www.electricjidigroup.it/tastiera-a-cupola-in-metallo/
Portable Co2 Skin Rejuvenation Machine https://www.tamiltrade.info/products/Portable-Co2-Skin-Rejuvenation-Machine.html
日本最大級スーパーコピーブランド財布代引き専門店 https://www.zhu555.jp/product-p2334694.html
Corrugated Pizza Box https://www.sloveniantrade.com/products/Corrugated-Pizza-Box.html
Deep Hole Turning And Boring Machine https://www.zhiyuspringgroup.it/molla-di-compressione-per-cerniera/
腕時計店舗腕時計アンバサダースーパーコピー https://www.zhu555.jp/product-p2354784.html
Nylon Dty https://www.tipishephotosupply.com/years-child/
Scar Removal Toning Effects Plasma Pen https://www.orientalwison.com/scar-removal-toning-effects-plasma-pen.html
Brushless Gear Reduction Motor https://www.chaoyamotor.com/
Brinell Hardness Testing Machine https://www.orthopedicjiankeco.com/products/t-plaque-de-verrouillage-angle-droit-de-la-t-te/
スーパーコピーブランド代引き対応 https://www.zhu555.jp/product-p2305571.html
楽天コピーそ他時計コピー代引き本物ブランド財布コピー https://www.zhu555.jp/product-p2358094.html
Diving Wetsuit https://www.tixianelectricshop.de/batterie-sonnensystem/
55000 LPH Pond Pump https://www.swedishb2b.com/products/55000-LPH-Pond-Pump.html

変換


※上の変換器は、TeXが正しいかどうかの確認に使ってください。
※TeXを入力する場合は、コメント本文に、$\$$ または、$\verb|\|$[, $\verb|\|$]で囲った中にTeX表示をそのまま挿入してください。
※URLは、自動的にハイパーリンクに変形されます。
※他のコメントに返信する場合は、「#コメント番号」を挿入してください。
※日本語を含まないコメントはスパムと認定されます。
※Comment including no japanese will be regarded as spam.