[ディリクレの原理]
$n<m$として、$n$個の箱に$m$個のものを入れ分ける場合、必ず2つ以上ものが入る箱が存在する。

基本：(1) $x$軸上の$0 < x \leqq n$に$n+1$個の異なる点を取ると、距離が1未満の2点が必ず存在する事を証明せよ。(nは整数)

発展：(2) 1辺の長さが2の立方体内に９つの点があり、それらを中心とした半径１の球がある。この時、２つの交わる球が必ず存在する事を証明せよ。

解法

数直線上の $k-1 < x \leqq k$ の($k$は整数)の範囲を$A_k$とする。
$0 < x \leqq n$ は、$A_k(1 \leqq k \leqq n)$ の範囲を足し合わせたものである。
ここで、$A_k$ は $n$ 個存在するので、これらに$n+1$個の点を入れ分ける時、ディリクレの原理より必ず2つの点が入る$A_k$が存在する。
$A_k$内の2点の距離は1未満であるので、距離が1未満の2点が必ず存在する。

解法

1辺の長さが2の立方体を、１辺の長さが１の立方体８つに分けて考える。
この時、この８つの立方体に９つの点を分け入れると、必ず２つの点が属する立方体が存在する。
１辺の立方体内の２点の距離は、立方体の対角線の長さに満たない。対角線の長さは \[ \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] である。ここで、２つの半径１の円が交わらないような中心の距離は$2$より大きくなければいけない。
しかし、中心の距離は$\sqrt{3} < 2$に満たない。
よって２つの交わる球が必ず存在する。