[問題] \begin{equation} \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k(k+1)} 2^k \end{equation}

問題を発見するための過程 積の差分の公式を変形する。 \begin{eqnarray*} \Delta \left( f(x)g(x) \right) &=& \Delta f(x) \cdot g(x) + f(x) \Delta g(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \\ \Delta \left( f(x)g(x) \right) - f(x) \Delta g(x) &=& \Delta f(x) \cdot \left( g(x) + \Delta g(x) \right) \\ \Delta \left( f(x)g(x) \right) - f(x) \Delta g(x) &=& \Delta f(x) \cdot g(x+1) \\ \frac{ \Delta \left( f(x)g(x) \right) - f(x) \Delta g(x) }{g(x+1)} &=& \Delta f(x) \end{eqnarray*} 両辺を差分すれば、 \begin{equation} \sum \frac{ \Delta \left( f(x)g(x) \right) - f(x) \Delta g(x) }{g(x+1)} = f(x) - f(1) \end{equation} ここで、$F(x) = xf(x)$, $g(x) = x$ とすると、$\Delta g(x) = 1$ なので \begin{eqnarray*} \sum \frac{ \Delta F(x) - \frac{F(x)}{x}}{x+1} &=& \frac{F(x)}{x} - F(1) \\ \sum \frac{ x\Delta F(x) - F(x)}{x(x+1)} &=& \frac{F(x)}{x} - F(1) \end{eqnarray*} よって、 \begin{equation} \sum_{k=1}^{x-1} \frac{k\Delta F(k) - F(k)}{k(k+1)} = \frac{F(x)}{x} - F(1) \end{equation} ここで、$x = n + 1$ を代入すると \begin{equation} \sum_{k=1}^{n} \frac{k\Delta F(k) - F(k)}{k(k+1)} = \frac{F(n+1)}{n+1} - F(1) \end{equation} $F(n) = 2^n$ とすると、$\Delta F(n) = 2^n$ なので \begin{equation} \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k(k+1)}2^k = \frac{2^{n+1}}{n+1} - 2 \end{equation}

問題を出題され解答するための過程 \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k(k+1)} 2^k &=& \sum_{k=1}^{n} \frac{k2^k - 2^k}{k(k+1)} \\ &=& \sum_{k=1}^{n} \frac{k\left(2^{k+1} - 2^k\right) - 2^k}{k(k+1)} \\ &=& \sum_{k=1}^{n} \frac{k2^{k+1} - (k+1)2^k}{k(k+1)} \\ &=& \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{2^{k+1}}{k+1} - \frac{2^k}{k} \right) \\ &=& \frac{2^{n+1}}{n+1} - 2 \end{eqnarray*}