\[ F_m(x) := \left( \frac{1}{\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x)} \right)^m \sum_{n=1}^{\infty} \Delta_{\mathbf{s}}^m a_n x^n \] とおく。このとき $F_0(x) = F(x)$ である。ここで、$\mathbf{s} = {}^t (s_0, \cdots, s_p)$ とおけば、 \begin{alignat}{2} (\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x))^{m+1} F_{m+1}(x) &=&& \sum_{n=1}^{\infty} \Delta_{\mathbf{s}}^{m+1} x^n \\ &=&&\sum_{n=1}^{\infty} \left(s_0 \Delta_{\mathbf{s}}^{m} a_n + \cdots s_p \Delta_{\mathbf{s}}^{m} a_{n+p} \right)x^n \\ &=&&s_0 \sum_{n=1}^{\infty} \Delta_{\mathbf{s}}^{m} a_n x^n + \cdots + s_p \sum_{n=1}^{\infty} \Delta_{\mathbf{s}}^{m} a_{n+p} x^n \\ &=&&s_0 (\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x))^m F_m(x) \\ & &&+ s_1 x^{-1} \left((\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x))^m F_m(x) - \sum_{n=1}^{1} \Delta_{\mathbf{s}}^m a_1 x \right) \\ & && \quad \vdots \\ & &&+ s_p x^{-p} \left( (\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x))^m F_m(x) - \sum_{n=1}^{p} \Delta_{\mathbf{s}}^m a_n x^n \right) \\ &=&& (\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x))^{m+1} F_m(x) \\ &&-&\left\{ (s_1 \Delta_{\mathbf{s}}^m a_1 + \cdots + s_p \Delta_{\mathbf{s}}^m a_p) \right. \\ &&+&(s_2\Delta_{\mathbf{s}}^m a_1 \cdots s_p \Delta_{\mathbf{s}}^m a_{p-1})x^{-1} \\ &&& \quad \vdots \\ &&+& \left. s_p \Delta_{\mathbf{s}}^m a_1 x^{-p+1} \right\} \\ &=&& (\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x))^{m+1} F_m(x) - {}^t \mathbf{s} A_m \mathbf{u}(x) \end{alignat} である。($A_m$の項がなぜこの形になるかは、手計算するとわかります。)ゆえに、 \[ F_m(x) - F_{m+1}(x) = \mathbf{s} \cdot A_m \mathbf{u}(x) \left( \frac{1}{\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x)} \right)^{m+1} \] である。この和分をとって移項すれば \[ F_0(x) = \sum_{n=1}^{m} \mathbf{s} \cdot A_{n-1} \mathbf{u}(x) \left( \frac{1}{\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x)} \right)^n + F_m(x) \] を得る。以上より、$F_m(x)$ が $m\to\infty$ で 0 に収束するような $x$ の範囲において、 \[ F(x) = F_0(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{s} \cdot A_{n-1} \mathbf{u}(x) \left( \frac{1}{\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x)} \right)^n \] が成立する。

\begin{align} |\Delta_{\mathbf{s}}^m a_n|^2 &\leq \left| \Delta_{\mathbf{s}}^{m-1} \mathbf{s} \cdot \begin{pmatrix} a_n \\ \vdots \\ a_{n+p} \end{pmatrix} \right|^2 \\ &=\left|\mathbf{s} \cdot \begin{pmatrix} \Delta_{\mathbf{s}}^{m-1} a_n \\ \vdots \\ \Delta_{\mathbf{s}}^{m-1} a_{n+p} \end{pmatrix} \right|^2 \\ &\leq |\mathbf{s}|^2 \left( |\Delta_{\mathbf{s}}^{m-1} a_n|^2 + \cdots + |\Delta_{\mathbf{s}} a_{n+p}|^2 \right) \\ &\leq (p+1) |\mathbf{s}|^2 \displaystyle \max_{n \leq i \leq n+p} |\Delta_{\mathbf{s}}^{m-1} a_i|^2 \end{align} である。(2行目から3行目の変形はコーシーシュワルツの不等式です) ここで、この操作を繰り返せば \begin{align} |\Delta_{\mathbf{s}}^m a_n|^2 &\leq \left((p+1)|\mathbf{s}|^2\right)^m \displaystyle \max_{n \leq i \leq n+mp} |a_i|^2 \\ &\leq \left((p+1)|\mathbf{s}|^2\right)^m \displaystyle \max_{i \leq n+mp} |a_i|^2 \end{align} であり、すなわち、 \[ |\Delta_{\mathbf{s}}^m a_n| \leq \left(\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|\right)^m \displaystyle \max_{i \leq n+mp} |a_i| \] である。

\[ \frac{1}{|\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x)|} \leq \frac{x^p}{M(t)} \]

\[ S_{m,N}(x) = \sum_{n=1}^{N} \frac{\Delta_{\mathbf{s}}^m a_n}{\mathbf{s} \cdot \mathbf{u}(x)} x^n \] とおく。 \begin{align} |S_{m,N}(x)| &\leq \sum_{n=1}^{N} \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|x^p}{M(t)} \right|^m \max_{i \leq mp + n} \left\{|a_i|\right\} x^n \\ &\leq \sum_{n=1}^{N} \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|x^p}{M(t)} \right|^m \max_{i \leq mp + N} \left\{|a_i|\right\} x^n \\ &\leq \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|x^p}{M(t)} \right|^m \max_{i \leq mp + N} \left\{|a_i|\right\} \sum_{n = 1}^{N} x^n \end{align} $m = N$ とすれば \[ |S_{m, m}(x)| \leq \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|x^p}{M(t)} \right|^m \max_{i \leq m(p+1)} \left\{|a_i|\right\} \sum_{n = 1}^{m} x^n \] 後半の $\sum$ の部分は $|x| \lt 1$ であれば有限な値を取るから、前半の値が 0 に収束するような場合を考えれば良い。 \begin{align} \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|x^p}{M(t)} \right|^m \max_{i \leq m(p+1)} &\leq \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|x^p}{M(t)} \right|^m \max_{i \leq m(p+1)} \left\{|a_i|\right\} \end{align} ここで、$R_m = \max\left\{1, \displaystyle \max_{i \leq m(p+1)} \left\{ \sqrt[i]{|a_i|} \right\} \right\}$ とおく。これは、$R_m \leq R$ であり、 \begin{align} \max_{i \leq m(p+1)} \left\{|a_i|\right\} &\leq \max\left\{1, \displaystyle \max_{i \leq m(p+1)} \left\{ |a_i|^{\frac{m(p+1)}{i}} \right\} \right\} \\ &= R_m^{m(p+1)} \leq R^{m(p+1)} \end{align} であるから、 \[ \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|x^p}{M(t)} \right|^m \max_{i \leq m(p+1)} \left\{|a_i|\right\} \leq \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|R^{p+1}x^p}{M(t)} \right|^m \] である。これが $0$ に収束すれば良いから、 \begin{align} \left| \frac{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|R^{p+1}x^p}{M(t)} \right| &\lt 1 \\ |x|^p &\lt \frac{|M(t)|}{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|R^{p+1}} \\ |x| & \lt \sqrt[\displaystyle p]{\frac{|M(t)|}{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|R^{p+1}}} \end{align} という範囲が示された。すなわち、$t$を固定した場合では、$|x| \lt t$ も考慮すれば \[ |x| \lt \min\left\{ t, \sqrt[\displaystyle p]{\frac{|M(t)|}{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|R^{p+1}}} \right\} \] である。ここで、$t$ は $0 \leq t \lt 1$ を動けるから \[ |x| \lt \max_{0 \leq t \lt 1}\min\left\{ t, \sqrt[\displaystyle p]{\frac{|M(t)|}{\sqrt{p+1}|\mathbf{s}|R^{p+1}}} \right\} \]