使い道のない定理!必ず全ての実数を取る関数

更新日時:2021/01/18

数学グラフ関数

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プロローグ

どうも、安田です。
最近は関数と関数の$xy$平面上での最短距離について研究しようとしていたのですが、その仮定で全く別の発見をしたので、ここに書き留めておきます。
なお、今回の発見は全く使い道がありません

概要

内容

使い道の無い発見は以下の通りです。

全ての実数に対して定義され、発散する点以外で微分可能な関数 $f(x)$ と、実数 $a$ に対して定義される関数 \[ F(x) = f'(x)f(x) + x - af'(x) \] は、必ず全ての実数を動く。

もしかしたら、見る人によっては当たり前な物なのかもしれませんが、私にはよく分からないので、発見という事にしておきます。

証明

証明は以下の通りです。

$(i) f(x) = a$ となるような $x$ について
このような $x$ を $x = t$ とすると、$F(t)=t$ である。
$(ii)$ それ以外の場合について
$b$ を実数とし、$a \neq f(b)$ とする。
$y=f(x)$ 上に $(b, a)$ との距離が最小となる点は必ず存在する。その点を $(u, f(u))$ とする。$(u, f(u))$ と $(b, a)$ を半径とし、中心が $(b, a)$ である円を $C$ とする。 この時、円$C$ と $y=f(x)$ に交点が存在するとすると、円$C$ 内に $y=f(x)$ 上の点が存在するため、$(u, f(u))$ より距離が小さい点が存在する事となり、矛盾する。よって、存在する共有点は必ず接点であり、距離が最小である $(u,f(u))$ は接点となる。すなわち、$y=f(x)$ 上の点においての接線と、$(u,f(u))$ と $(b, a)$ を結んだ直線は直交する。よって、 \begin{equation} \frac{a - f(u)}{b-u} \cdot f'(u) = -1 \end{equation} である。すなわち、 \begin{eqnarray*} af'(u) - f'(u)f(u) + b - u = 0 \\ \therefore F(u) = b \end{eqnarray*} $b$ は $t$ 以外の値を取る事ができるため、$F(u)$ は $t$ 以外の全ての実数を取ることができる。

$(i)(ii)$ より、$F(u)$ は全ての値を取る事が出来る。

証明は非常に面白いです。とても数学チックな証明方法だと思いました。
これ以上書ける事が無いので、今回はこれで終わりにします。
それでは、お疲れさまでした。

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