まず $f(x+y)=(x+y)^{p+1}$とおいて、これを$x$についてテイラー展開する。 \[ f(x+y) = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(p+1)^{\underline{l}}y^{p+1-l}}{l!}x^l \] ただし、 \[ a^{\underline{0}}=1, \quad a^{\underline{k}} = a(a-1) \cdots (a-k+1) \] と定義されている。(これは階乗冪と呼ばれていて、数列において重要な概念なので、気になる方は是非調べてみてください。) \[ a_{n+1}^{p+1} = f(a_n^{-p}+a_n) \] だから、式を整理すると \[ a_{n+1}^{p+1} = a_n^{p+1} + (p+1) + \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \] である。これは冪級数であるから半径の問題があるが、この場合満たすべき条件は$\displaystyle \left| \frac{1}{a_n^{p+1}} \right| \lt 1$ であり、 これは$a_1 > p+1$かつ $a_n$ が単調増加であることから十分満たされているため、問題ない。ここで、 \[ a_n^{p+1} = (p+1)n + s_n \] とおくと \[ s_{n+1} = s_n + \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \] となる。$i = \lfloor p \rfloor + 1$ とおく。このとき次のような自明な性質がある。$k$を$1$以上の整数として

• $(p+1)^{\underline{k}}\ (1 \leq k \leq i)$は正
• $(p+1)^{\underline{i+2k-1}}$は正
• $(p+1)^{\underline{i+2k}}$ は負

これは、$(p+1-i)$以上の実数は全て正であることから、$(p+1)^{i+1}$までは正。そして、$(p-i)$は負なので$(p+1)^{i+2}$は負となる。 あとは同様の帰納的に示すことができる。

まず、$p$が整数の時と同様に$s_n$が単調増加であることを示す必要がある。そのために、$s_{n+1}-s_n$と等しい無限和について評価する。次の式内の合同式については法を2とした評価とする。 \begin{align} & \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \\ &= \sum_{l=1}^{i}\frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} + \sum_{l > i}\frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \\ &\gt \sum_{l \gt i}\frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \\ &= \sum_{l \not\equiv i, l \gt i} \left(\frac{\left|(p+1)^{\underline{l+1}}\right|}{l! \ a_n^{(p+1)l}} - \frac{\left| (p+1)^{\underline{l+2}}\right|}{(l+1)! \ a_n^{(p+1)l}} \right) \\ &= \sum_{l \not\equiv i, l \gt i} \frac{a_n^{p+1}(l+1)|(p+1)^{\underline{l+1}}|-|(p+1)^{\underline{l+2}}|}{(l+1)!\ a_n^{(p+1)(l+2)}} \end{align} ここで、$l \gt i$ のとき \begin{align} &(l+1)|(p+1)^{\underline{l+1}}|-|(p+1)^{\underline{l+2}}| \\ &= (l+1 - |l+1-(p+1)|)|(p+1)^{\underline{l+2}}| \\ &\gt 0 \end{align} かつ $a_n \geq a_1 \gt 1$ だから、 \[ \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \gt 0 \] となる。ゆえに$s_n$は単調増加である。ゆえに、$a_1 \gt p+1$ も加味して、$s_n \gt s_1 \gt 0$ である。すなわち、$a_n \gt \sqrt[p+1]{(p+1)n}$である。 また、先ほどと同様の方法で \begin{align} s_{n+1} &= s_n + \sum_{l=1}^{i + 1} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} - \sum_{l \equiv i, l > i + 1} \frac{a_n^{p+1}(l+1)|(p+1)^{\underline{l+1}}| - |(p+1)^{\underline{l+2}}|}{(l+1)!\ a_n^{(p+1)(l+1)}} \\ &\gt s_n + \sum_{l=1}^{i + 1} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \end{align} と評価できる。(シグマの添字や符号が違ったりするので、注意してください。) さらに、$\gamma$を \[ \forall l \in [1, i+1] \cap \mathbb{N}, \exists \gamma \gt \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l!} \] とすれば、$p$が整数のときの議論と同様に(詳しい証明が知りたい場合は前回記事を参照)、 \[ \frac{s_{n+1}}{n+1} \leq \frac{s_n}{n} + \frac{2\gamma}{p+1} \cdot \frac{1}{n(n+1)} \] よって、$\alpha = \displaystyle \frac{2\gamma}{p+1}$ とすれば \[ s_n \leq s_1 + \alpha \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \] である。また、$\delta$を \[ \forall l \in [1, i+1] \cap \mathbb{N}, \exists \delta \lt \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l!} \] とすれば \begin{align} s_{2n} &= s_n + \sum_{m=n}^{2n-1}\sum_{l=1}^{\infty} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_m^{(p+1)l}} \\ &\gt s_n + \sum_{m=n}^{2n-1} \sum_{l=1}^{i} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_m^{(p+1)l}} \\ &\gt s_n + \delta \sum_{m=n}^{2n-1} \sum_{l=1}^{i} \frac{1}{a_m^{(p+1)l}} \\ &= s_n + \delta \sum_{m=n}^{2n-1} \left(\frac{1}{a_m^{p+1}} \cdot \frac{1 - a_m^{-(p+1)i}}{1 - a_m^{-(p+1)}} \right) \end{align} で$p$が整数のときと同様に議論が行えてある実数$L \gt 0$ に対して $s_{2n} - s_n \gt L$ だから、$s_n$ は$+\infty$へ発散する。ゆえに \[ \lim_{n \to \infty} \left( a_n^{p+1} - (p+1)n \right) = +\infty \] すなわち \[ \forall c \in \mathbb{R}, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \leq n_0, a_n \gt \sqrt[p+1]{(p+1)n + c} \] である。

\[ a_n^{p+1} = (p+1)n + q\ln n + t_n \] とおく。これは \[ t_{n+1} = t_n - q\ln\frac{n+1}{n} + \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \] で、さらに級数部分の評価から \[ t_{n+1} \lt t_n - q\ln\frac{n+1}{n} + \sum_{l=1}^{s+1} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_n^{(p+1)l}} \] とできる。ここで \begin{align} t_{2n} &\lt t_n + \sum_{m=n}^{2n-1} \left( -q\ln\frac{m+1}{m} + \sum_{l=1}^{s+1} \sum_{l=1}^{s+1} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_m^{(p+1)l}}\right) \\ &= t_n -q\ln\frac{2n}{n} + \sum_{m=n}^{2n-1} \sum_{l=1}^{s+1} \frac{(p+1)^{\underline{l+1}}}{l! \ a_m^{(p+1)l}} \\ &\lt t_n - q\ln 2 + \gamma \sum_{m=n}^{2n-1} \frac{1}{a_m^{(p+1)}} \frac{1-a_m^{-(p+1)(s+1)}}{1-a_m^{-(p+1)}} \\ &\lt t_n -q\ln 2 + \gamma \sum_{m=n}^{2n-1} \frac{1}{a_m^{p+1} - 1} \end{align} ここで、ある$n_1$に対して$n\gt n_1$ならば$s_n \gt 1$ が言えるから、そのような$n$に対して \begin{align} t_{2n} &\lt t_n -q\ln 2 + \gamma \sum_{m=n}^{2n-1} \frac{1}{(p+1)m} \\ &\lt t_n -q\ln 2 + \gamma \sum_{m=n}^{2n-1}\frac{1}{(p+1)n} \\ &= t_n - q\ln 2 + \frac{\gamma}{p+1} \end{align} であり、 \[ q \gt \frac{\gamma}{(p+1)\ln 2} \] となるような$q$を取れば、ある実数$M \lt 0$ に対して \[ t_{2n} - t_n \lt M \lt 0 \] である。また、 \begin{align} t_{n+1} - t_n &\lt -q\ln\frac{n+1}{n} + \gamma \sum_{l=1}^{s+1}\frac{1}{a_n^{(p+1)l}} \\ &= - q \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) + \frac{\gamma}{a_n^{p+1}} \cdot \frac{1-a_n^{-(p+1)(s+1)}}{1-a_n^{-(p+1)}} \\ &\lt -q\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) + \frac{\gamma}{a_n^{p+1} - 1} \end{align} で、$n \gt n_1$ とすれば \begin{align} t_{n+1} - t_n \lt -q \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) + \frac{\gamma}{(p+1)n} \end{align} であり、$p$が整数のときと同様に、$q \gt \displaystyle \frac{\gamma}{p+1}$とすれば、十分大きな$n$では$t_n$が単調減少であるとわかる。よって、$t_n$は$-\infty$に発散する。すなわち \[ \lim_{n \to \infty} \left(a_n^{p+1} - ((p+1)n + q\ln n)\right) = -\infty \] したがって、 \[ \forall d \in \mathbb{R}, \exists n_2 \in \mathbb{R}, \forall n \geq n_2, a_n \lt \sqrt[p+1]{(p+1)n + q\ln n + d} \] 最初の結果とこの結果から、任意の$c,d$とある$q$に対して十分大きな$n$では \[ \sqrt[p+1]{(p+1)n + c} \lt a_n \lt \sqrt[p+1]{(p+1)n + q\ln n + d} \] すなわち \[ 0 \lt a_n - \sqrt[p+1]{(p+1)n + c} \lt \sqrt[p+1]{(p+1)n + q\ln n + d} - \sqrt[p+1]{(p+1)n + c} \] であり、はさみうちの原理を用いれば \[ \lim_{n \to \infty} \left( a_n - \sqrt[p+1]{(p+1)n + c}\right) = 0 \] である。(この証明も前回記事を参照してください。)