プロローグ

どうも、安田です。今回は、テイラー展開に関する記事です。
テイラー展開には収束半径という不純物がつきものです。 どれだけ上手くグラフを再現しようとしても、収束半径が狭いせいですぐに発散してしまうグラフになってしまう事が多いです。
今回は、収束半径を拡張する方法について取り上げます。

例題

先ほど取り上げた$\log(x)$についてですが、この「収束半径拡張」という操作にはうってつけの例ですので、例題として取り上げます。
まずは、普通に$\log(x)$をテイラー展開します。

このようにテイラー展開出来ました。
しかしながら、この収束半径ではいつまでたっても$x$が大きい部分ではグラフが再現できません。
その解決策として以下のような変形を行います。

上手く出来ましたね。個人的に$\log$のこの形の表し方が好きです。
それはそうと、収束範囲を拡張する、という私の意図はそこそこ伝わったと思います。

解決方法

解決方法についての考察です。
$\log(x)$を元に解決するといったものの、$\log(x)$の収束範囲拡張では$\log(x)$の性質を利用した物であって、決して一般化の参考となる式変形はありません。
しかしながら、思考方法は一般的でした。今回私は、「収束範囲が拡大する方向に変数を変換する」というものがメインの思考でした。 この考え方を一般化に適応する事にします。

一般化（一般的な解決策）

まず初めに、先ほど示した変換について考えます。一般化ですので、「定義域拡張」という名目で勧めていきます。全て同じ式で表して解決する事は難しいですので、抽象的に考えます。 考え方をそのまま式にするだけですが、そちらの方が数学らしいと思いますので、そうします。

あまり実用的には見えない式が完成しました。一応私は、考え方をまとめた式として考えておきます。