初級レベル

まずはじめに最も簡単な数列から始めます。難しい数列の問題も最終的にこの形に持ってくることが多いので、数列の問題では常にこの形を予想しておく事が大切です。
以下の形です。

恒等数列は扱い方が初級ではないので省きました。

(1)の解
直感で分かると思うので、解を暗記するだけで良いです。

どうしてもしっかりとした導出方法が知りたいと思う方は、$f(n)=a_n$ とおいて漸化式を微分すれば $f'(n)$ が定数関数（もしくは周期関数だが結果は同じなので定数関数として計算したほうが早い）となるので、$a_n$ が $n$ の一次式で表されることが分かると思います。

(2)の解
こちらも直感で分かるので、解を暗記するだけで良いです。

導出の過程は(1)で書いたものと同じです。（微分して形が変わらない→指数関数と分かる。）

(3)の解
正直直感では分かりにくいので、「知っている形へ変形する」という基本的な数学の考え方をおさらいした上で、答えを覚えましょう。そこまで難しくないのでこれも暗記で良いです。

この導出方法は書いた通り「知っている形へ変形する」です。納得しない方は、これも微分すれば等差数列と同じ形になるから、そこに積分定数が付いただけだと考えてみると良いです。

以上が初級の数列です。

中級レベル

中級以上の問題を解く場合は、まず以下の考え方を理解しておいてください。頻出です。

これ以降は種類が多いため、書ききれません。かといって一般形で書くと解説というより研究に近くなるので、例を挙げます。

まだ怖気づくべき難易度ではありません。知っている形へ持っていけないか探すと簡単に解けます。

(4)の解
最初に書いたシグマの計算方法を使います。

導出の過程に関しては初級の方が難しいです（直感で理解できるモノの説明は難しい）。

(5)の解
頻出です。大体この形しか出題されないですので、暗記で良いと思います。

(6)の解
解ける漸化式は全て恒等式へと変形する事が出来ます。特に、漸化式の両辺が単項式の場合は用意に恒等式へと変形する事ができます。
恒等式は定数でおけるので、そこから解を導きます。

もしかしたら(1)～(3)よりも簡単かもしれません。

上級レベル

上級レベルでも、共通テストにすら、誘導ありきだとしても出うると思います。
ここでも一例としての問題を提示します。

(7)の解
階差型の漸化式の $a_n$ の係数が $n$ についての関数となっている場合です。
これは(5)のように考えるのがコツです。まず、$n$ の関数で割って見るという事を試します。$a_{n+1}, a_n$ の項だけに着目して考えます。 \begin{equation} \frac{a_{n+1}}{f(n)} = \frac{n(n+1)}{f(n)} a_n + \cdots \end{equation} この時の係数がそれぞれ同じ関数に $n, n+1$ を代入した形となればよい。この条件を数式にする。 \begin{eqnarray*} \frac{1}{f(n)} &=& \frac{(n+1)(n+2)}{f(n+1)} \\ f(n+1) &=& (n+1)(n+2) f(n) \end{eqnarray*} この数式に一瞬混乱する方もいるかもしれませんが、単純に左辺の $f(n)$ に漸化式を代入し続ければ、$f(n) = n!(n+1)!$ がこの形を満たす事が分かるので、特に心配する必要はありません。
上の考えを基に問題を解きます。（上の部分の記述は「思いつく過程」なので試験で記述する必要はありません。特性方程式と同様です。）

導出の過程はシンプルなので、閃きは必要ありません。

(8)の解
逆数型とは私が名付けたものですが、名前で解き方がネタバレされています。分数式となっていればこの解き方を疑うべきです。
なお、この手の問題は逆数でおきかえると分かったら簡単に解ける事が確信できます。なぜなら、おきかえても難しい場合はほとんどの受験生が気付かないからです。大学入試でそれは大学側の失敗にあたります。

$\{b_n\}$ の解き方は閃き要素が強いです。この形は、$b_n = kc_n$ とおいて、解ける形を探します。受験ではあまり重要じゃないですので、うろ覚えで良いです。

(9)の解
3項間漸化式は難しい形の場合も、大概一次式へと変形します。どうすれば一次式へ変形されるのか考えると解けます。

1次式の3項間漸化式は、特性方程式を用いれば解けます。特性方程式は、$n+k$ 項目を $x^k$ におきかえた式となります。
今回の場合は、 \[ x^2 = x + 1 \] すなわち \begin{equation} x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{equation} となります。この値を用いて、以下のように変形出来ます。（導くための道具ですので、記述する必要はありません。）

あとは $b_n$ を $a_n$ に変形するだけですが、式が長くなるのでここで終わりにしておきます。
なお、1次(線形) $k$ 項間漸化式の特性方程式は、$a_{n+k}$ を $x^k$ でおきかえたものになるそうです。（参考：漸化式の特性方程式の意味とうまくいく理由 | 高校数学の美しい物語）

以上で受験数学の数列（漸化式)は大体コンプリート出来たと思います。
それでは、お疲れさまでした。