(1)$f''(x) > 0$ のとき
\begin{equation} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \geqq f\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k\right) \end{equation}
(2)$f''(x) < 0$ のとき
\begin{equation} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \leqq f\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k\right) \end{equation}
以上の等号成立条件は全ての $x_k$ が一致すること。

(共通)
$x_k$ を以下の式を満たすものとする。 \begin{equation} \sum_{k=1}^{n} x_k = P = Const. \tag{i} \end{equation} この時 \begin{equation} S = \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \end{equation} を考える。
まず、異なる $a, b$ について $x_a, x_b$ の関係は$(i)$から定数$A$を用いて \begin{equation} x_b = - x_a + A \tag{ii} \end{equation} と表す事ができる。ここで $S$ を $x_a$ で微分すると$(ii)$を用いれば \begin{eqnarray*} \frac{dS}{dx_a} &=& f'(x_a) + \sum_{k \neq a} \frac{d}{dx_a} f(x_k) \\ &=& f'(x_a) - \sum_{k \neq a} f'(x_k) \end{eqnarray*} となる。すなわち \begin{eqnarray*} &&\frac{dS}{dx_a} = 0 \\ &\Longleftrightarrow& f'(x_a) = \sum_{k \neq a} f'(x_k) \\ &\Longleftrightarrow& 2f'(x_a) = \sum_{k = 1}^{n} f'(x_k) \end{eqnarray*} よって、$S$ が極地を取る時は、$a$ に $a$ と $b$ を代入したものを比較して \[ f'(x_a) = f'(x_b) \] の時である。(1)(2)のどちらの場合でも$f'(x)$は単調な変化をするので、上の式は \[ x_a = x_b \] と同値である。よって $S$ の極致は$x_k = \frac{P}{n}$ のときすなわち \begin{equation} S = n f\left(\frac{P}{n}\right) \end{equation}

(1)のとき
\[ \frac{dS}{dx_a} = f'(x_a) - \sum_{k \neq a} f'(x_k) \] について考える。$x_a$ が増加すれば $x_k\ (k \neq a)$ は減少する。また、$f'(x)$ は単調増加する。 以上の事から$\frac{dS}{dx_a}$ は $x_a$ に対して単調増加する事が分かり、符号の変化は $- \to 0 \to +$ となる事が分かる。
よって $S$ は極小値をただ一つだけ持つため、$S$ の極値は $S$ の最小値である。

(2)のとき
(1)と同様に考えると、$\frac{dS}{dx_a}$ は $x_a$ に対して単調減少であるため、符号の変化は $+ \to 0 \to -$ となる事が分かる。
よって、$S$ は極大値をただ一つだけ持つため、$S$ の極値は $S$ の最大値である。

これらをまとめて、
(1)$f''(x) > 0$ のとき
\begin{equation} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \geqq n f\left(\frac{P}{n}\right) \end{equation}
(2)$f''(x) < 0$ のとき
\begin{equation} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \leqq n f\left(\frac{P}{n}\right) \end{equation}

\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) &\leqq& f\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k\right) \\ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}log(x_k) &\leqq& \log\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}x_k \right) \\ \frac{1}{n} \log \left( \prod_{k=1}^{n} \right) &\leqq& \log\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k \right) \\ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} x_k} &\leqq& \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k \end{eqnarray*}