数列$\{Y_n\}$が$\alpha$に収束すると仮定する。
$\{Y_n\}$が収束する事より、 \[ \lim_{n \to \infty} \left( Y_{n+1} - Y_n \right) = 0 \] 漸化式を代入して、 \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( Y_n + \frac{1}{Y_n} - Y_n \right) &=& 0 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{Y_n}　&=& 0 \end{eqnarray*} $\{Y_n\}$は$\alpha$に収束するから、 \[ \frac{1}{\alpha} = 0 \] ここで、$\alpha$は実数であるため、上の式は成り立たない。よって仮定が偽であるので、$\{Y_n\}$は収束しない。
すなわち、$\{Y_n\}$は発散する。

\[ \{Y_n\}：2, \frac{5}{2}, \frac{29}{10}, \frac{941}{290}, \frac{969581}{272890}, \cdots \]