【数列】数列Yとの闘い p1【シリーズ記事】

更新日時:2020/04/13

数学数列数列Yシリーズ記事

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プロローグ

どうも、安田です。今回は、プロローグに大見出しを取りました。それは、今回取り扱う内容を、解けるまでシリーズものとして扱うからです。
このシリーズでは、この問題に向けて気づいた事を少しずつ取り上げていきます。

このシリーズ一覧はこちらから。

問題:数列$\{Y_n\}$

このシリーズでの最終目的は、以下の数列の一般項を求める事です。性質などの発見もサブの目的として取り扱っていきます。

数列$\{Y_n\}$を以下と定義する。 \begin{equation} \begin{cases} Y_1 = 2 \\ Y_{n+1} = Y_n + \frac{1}{Y_n} \end{cases} \end{equation}

考察

$\{Y_n\}$の発散性

今回はシリーズ初回という事で、初歩的な内容である「発散性」を調べていこうと思います。この数列は、値を計算すると発散するかしないか分かりずらいですが、式からは簡単に分かりますね。
皆さんも私の計算を見る前にささっと計算してみてください。

数列$\{Y_n\}$が$\alpha$に収束すると仮定する。
$\{Y_n\}$が収束する事より、 \[ \lim_{n \to \infty} \left( Y_{n+1} - Y_n \right) = 0 \] 漸化式を代入して、 \begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( Y_n + \frac{1}{Y_n} - Y_n \right) &=& 0 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{Y_n} &=& 0 \end{eqnarray*} $\{Y_n\}$は$\alpha$に収束するから、 \[ \frac{1}{\alpha} = 0 \] ここで、$\alpha$は実数であるため、上の式は成り立たない。よって仮定が偽であるので、$\{Y_n\}$は収束しない。
すなわち、$\{Y_n\}$は発散する。

もう少し簡略化して書いたほうが良かったでしょうかね。というわけで、発散する事が分かりました。
しかし、式から簡単に分かるとは言えど、$n$に対して$\{Y_n\}$増加量が少しずつ減少していくことを考慮すると、発散するのは少し不思議にも思えますね。 調和数が発散するような不思議がありますね。
それはともかく、発散する事が証明出来ました。今後この事実が活きる事を祈ります。

値からの考察

前回のテスト記事で「代入は数列と相性がいい」という話をしたばかりですので、代入から法則が見つけられないか調べてみます。
計算には、自作分数計算システムを使用しましたので、計算結果のみを掲載します。代入過程でも分かることがあるという事もあるので、皆さんも計算してみるといいと思います。

\[ \{Y_n\}:2, \frac{5}{2}, \frac{29}{10}, \frac{941}{290}, \frac{969581}{272890}, \cdots \]

予想は出来ていましたが、何も分かりませんね。少なくとも私がここから得た情報は、分子と分母にあるほんの少しの関係です。
代入から得られる事があるという事の例外のように見える結果ですが、実は結構大きな情報を得ています。
というわけで、少し伏線を残しつつ、本記事は終了としたいと思います。
それでは、お疲れさまでした。

数列Yシリーズ

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この記事の次回記事

※次回記事は投稿され次第、記事が表示されます。

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