\begin{equation} Y_{n+1} - Y_n - \frac{1}{Y_n} \end{equation}

近似式$g(n)$の定義（導出は前回記事参照）
\begin{equation} Y_n \simeq g(n) = \sqrt{2n+2} \end{equation} これに対して誤差は \begin{eqnarray*} g(n+1) - g(n) - \frac{1}{g(n)} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} g_2(n) &=& g(n) - \left\{\sum_{k=1}^{n} \left( g(k+1) - g(k) - \frac{1}{g(k)} \right) - \left( g(n+1) - g(n) - \frac{1}{g(n)} \right) \right\} \\ &=& g(n) - \left\{ g(n+1) - g(1) - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{g(k)} - g(n+1) + g(n) + \frac{1}{g(n)} \right\} \\ &=& g(n) - \left( g(n) - g(1) + \frac{1}{g(n)} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{g(k)} \right) \\ &=& g(1) - \frac{1}{g(n)} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{g(k)} \\ &=& 2 -\frac{1}{\sqrt{2n+2}} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k+2}} \end{eqnarray*}

近似的な補間 \begin{equation} \begin{cases} g_1(n) = g(n) \\ g_{m+1}(n) = \displaystyle g_m(n) - \left\{\sum_{k=1}^{n} \left( g_m(k+1) - g_m(k) - \frac{1}{g_m(k)} \right) - \left( g_m(n+1) - g_m(n) - \frac{1}{g_m(n)} \right) \right\} \end{cases} \tag{1} \end{equation} すなわち \begin{equation} \begin{cases} g_1(n) = \sqrt{2n+2} \\ g_{m+1}(n) = \displaystyle g_m(1) - \frac{1}{g_m(n)} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{g_m(k)} \end{cases} \tag{2} \end{equation} としたとき、 \begin{equation} Y_n = g_m(n) \ \ (n \leqq m) \end{equation} また、 \begin{equation} Y_n = \lim_{m \to \infty} g_m(n) \end{equation}

証明 \begin{equation} Y_n = g_m(n) \end{equation} が少なくとも成り立つ範囲を \[ n \leqq N_m \] とする。
$(\alpha) n \leqq N_m$ の時
v が成り立つので、 \begin{eqnarray*} &&\sum_{k=1}^{n} \left( g_m(k+1) - g_m(k) - \frac{1}{g_m(k)} \right) \\ &=&\sum_{k=1}^{n-1} \left( Y_{k+1} - Y_k - \frac{1}{Y_k} \right) + g_m(n+1) - g_m(n) - \frac{1}{g_m(n)} \\ &=& g_m{n+1} - g_m(n) - \frac{1}{g_m(n)} \end{eqnarray*} よって、 \begin{equation} \sum_{k=1}^{n} \left( g_m(k+1) - g_m(k) - \frac{1}{g_m(k)} \right) - \left(g_m(n+1) - g_m(n) - \frac{1}{g_m(n)}\right) = 0 \end{equation} これを$g_m$の漸化式に代入すると、 \begin{equation} g_{m+1}(n) = g_m(n) = Y_n \end{equation} $(\beta)n = N_m + 1$ の時
\[ g_m(k) = Y_k \ \ (k \leqq n-1) \] が成り立つので、 \begin{eqnarray*} &&\sum_{k=1}^{n} \left( g_m(k+1) - g_m(k) - \frac{1}{g_m(k)} \right) \\ &=&\sum_{k=1}^{n-1} \left( Y_{k+1} - Y_k - \frac{1}{Y_k} \right) - Y_n + g_m(n) + g_m(n+1) - g_m(n) - \frac{1}{g_m(n)} \\ &=& g_m{n+1} - \frac{1}{g_m(n)} - Y_n \end{eqnarray*} よって、 \begin{equation} \sum_{k=1}^{n} \left( g_m(k+1) - g_m(k) - \frac{1}{g_m(k)} \right) - \left(g_m(n+1) - g_m(n) - \frac{1}{g_m(n)}\right) = g_m(n) - Y_n \end{equation} これを$g_m$の漸化式に代入して、 \begin{eqnarray*} g_{m+1}(n) &=& g_m(n) - (g_m(n) - Y_n) \\ g_{m+1}(n) &=& Y_n \end{eqnarray*}

$(\alpha)(\beta)$から \begin{equation} N_{m+1} = N_m + 1 \end{equation} また、$Y_1 = g_1(1)$から$N_1 = 1$なので \begin{equation} N_m = m \end{equation} よって、 \begin{equation} Y_n = g_m(n) \ \ (n \leqq m) \end{equation} が成り立つ。