問題：数列$\{Y_n\}$
このシリーズでの最終目的は、以下の数列の一般項を求める事です。性質などの発見もサブの目的として取り扱っていきます。
数列$\{Y_n\}$を以下と定義する。
\begin{equation}
\begin{cases}
Y_1 = 2 \\
Y_{n+1} = Y_n + \frac{1}{Y_n}
\end{cases}
\end{equation}
考察
前回の振り返り
今回の記事は前回の記事の続きなので、前回記事の結論を書いておきます。
$a$ を任意の定数として,
\[
\lim_{n \to \infty} \left( Y_n^2 - 2n - a \right) = \infty
\]
つまり、ある $n_0 \in \mathbb{N}$ に対して
\[
n > n_0 \Rightarrow Y_n^2 > 2n + a
\]
が言えます。さらに右辺が負の値を取らないようにする、すなわち
\[
n > n_0 \Rightarrow Y_n > \sqrt{2n + a}
\]
補正項の極限
前回の証明では、$Y_{2n}^2-2\cdot 2n$ と $Y_n^2 -2n$ を比較した時に一定数増加しているということが示されました。ここから、$\ln (n)$の定数倍を補正項として入れることにより、ということまで結論をつけました。
ここで、こちらについても極限の考察をします。
定数 $b > 0$ に対して
\begin{equation}
z_n = Y_n^2 - 2n - b \ln n
\end{equation}
と定義する。
この漸化式は$Y^2$の漸化式に代入することにより
\[
z_{n+1} = z_n - b\ln \left( \frac{n+1}{n} \right) + \frac{1}{Y_n^2}
\]
です。ここから、前回同様$z_{2n}-z_n$について考えます。
\begin{align*}
z_{2n} &= z_n + \sum_{k=n}^{2n-1} \left\{-b\ln\left(\frac{k+1}{k}\right)+\frac{1}{Y_k^2}\right\} \\
&\lt z_n - b\ln\left(\frac{2n}{n}\right) + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{2k+2} \\
&\lt z_n - b\ln 2 + \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{2n+2} \\
&= z_n - b\ln 2 + \frac{n}{2n+2} = z_n - b \ln 2 + \frac{1}{2 + \frac{2}{n}}\\
&\lt z_n - b \ln 2 + \frac{1}{2}
\end{align*}
このとき$b$を
\begin{equation}
\frac{1}{2} \lt b \ln 2
\end{equation}
を満たすように定めれば、ある定数 $p \lt 0$ に対して
\[
z_{2n} - z_n \lt p
\]
となる。ゆえに $z_{2^n}$ は $-\infty$ に発散する。
このようにできました。また、$z_n$ が $-\infty$ に発散してほしいので、十分に大きな $n$ に対して $\Delta z_n = z_{n+1} - z_n \lt 0$ となることを目標に変形します。
まず、$Y_n^2 \gt 2n \gt n$ だから
\begin{align*}
z_{n+1} - z_n &= - b \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{Y_n^2} \\
&\lt -b \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{n} = \ln \left( \frac{e^{n^{-1}}}{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^b} \right)
\end{align*}
ここで
\[
\left( \frac{e^{n^{-1}}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^b} \right)^n = \frac{e}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{bn}} = T(n)
\]
とおくと $(1+n^{-1})^n$ は $(1, e)$ で単調増加するから, $b \gt 1 \gt \frac{1}{2 \ln 2}$ とすると、ある$n_1$に対して
\[
T(n) \lt 1 \quad (n \gt n_1)
\]
すなわち
\[
z_{n+1} - z_n \lt 0 \quad (n \gt n_1)
\]
である。
よって、$z_n$ が $-\infty$ に発散することが示されました。すなわち任意の定数 $c$ に対して $b > 1$ とすると
\[
Y_n^2 \lt 2n + b\ln n + c \quad (n \gt n_1)
\]
であり、つまり
\[
Y_n \lt \sqrt{2n + b \ln n + c}
\]
です。
微分近似との誤差の極限
ここで、前回の結論と先ほどのセクションをまとめると、次のことが言えます。
$a, c$ を任意の定数, ある $b \gt 1$ に対して, ある $n_2$ が存在して
\[
\sqrt{2n + a} \gt Y_n \gt \sqrt{2n + b \ln n + c} \quad (n \gt n_2)
\]
すなわち
\[
0 \gt Y_n - \sqrt{2n + a}\gt \sqrt{2n + b \ln n + c} - \sqrt{2n + a} \quad (n \gt n_2)
\]
このとき
\begin{align*}
\sqrt{2n + b \ln n + c} - \sqrt{2n + a} &= \frac{b \ln n + c}{\sqrt{2n + b \ln n + c} + \sqrt{2n + a}} \\
&= \frac{b \frac{\ln n}{\sqrt{n}} + \frac{c}{\sqrt{n}}}{\sqrt{2 + b \frac{\ln n}{n} + \frac{c}{n}} + \sqrt{2 + \frac{a}{n}}} \\
&\to 0 \quad (n \to \infty)
\end{align*}
です。だから、はさみうちの原理をもちいて、次の結論が導けました。
任意の定数 $a \geq -2$ に対して
\[
\lim_{n \to \infty} \left( Y_n - \sqrt{2n + a} \right) = 0
\]
微分近似をした時には思いもよらなかった結論です。
今回はここで終わりです。お疲れ様でした。
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