二項定理に関するシグマの証明から見えたもの

更新日時:2020/06/09

数学シグマ問題回答

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問題と意見

プロローグ(意見)

どうも、安田です。今回は、少し前に私が解いたシグマの問題について扱います。
本来シグマ系の恒等式というのは、自然と導き出される事が多いと思います。 逆に基本的に定理も何もないため、指定されたシグマの計算を導き出す事は難しいと思います。
今回は2項定理にまつわるシグマの計算かつ証明問題という事で、他のシグマの計算よりは大分思いつきやすいと思います。
ちなみに、数列の証明問題は数学的帰納法を用いればどんな問題でも解けます。

問題

それでは問題を提示します。

次の事を証明しなさい。
\[ (1) \sum_{k=1}^n \ k {}_n \mathrm{C}_k = n2^{n-1} \] \[ (2) \sum_{k=0}^n \frac{ {}_n \mathrm{C}_k }{ k + 1 } = \frac{2^{n+1} - 1}{n + 1} \]

いかにも二項定理らしい式ですね。今回はこれを解きます。

解法

解答に記載された解法

解答に載っていた解法は、導出時点では非常に数学的なのですが、これを指定された式の証明に使うというのは非常にナンセンスというか、思いつきづらいモノだと感じました。
どういう事かというのは、解答を提示してから書きます。

(1)
二項定理より、 \begin{eqnarray*} \left(1 + x\right)^n &=& \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k x^k \\ \frac{d}{dx} \left(1 + x\right)^n &=& \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k x^k \\ n(1 + x)^{n-1} &=& \sum_{k = 1}^{n} k {}_n \mathrm{C}_k x^{k-1} \end{eqnarray*} ここで、$x=1$を代入すると、 \begin{equation} n2^{n-1} = \sum_{k = 1}^{n} k {}_n \mathrm{C}_k \end{equation}
(2)
二項定理より、 \begin{eqnarray*} \left(1 + x\right)^n &=& \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k x^k \\ \int_{0}^{1} \left(1 + x\right)^n dx &=& \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k x^k dx \\ \left[ \frac{(1+x)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 &=& \sum_{k=0}^n \left[ \frac{{}_n \mathrm{C}_k x^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 \\ \frac{2^{n+1} - 1}{n + 1} &=& \sum_{k=0}^n \frac{{}_n \mathrm{C}_k}{k+1} \end{eqnarray*}

非常に思いつきづらいです。
この方法が思いつく人は直前に二項定理ないしは多項式の微分を扱っていた人がほとんどだと思います。もちろん閃きなので、急に思いついたという方もいるとは思います。
恒等式を微分してみたり積分してみたりというのはいたって数学的ですが、この証明問題で微積分を思いつくのは数学的思考なのでしょうか、と思っています。
何が言いたいかというと、他の方法の方が思いつきやすいのではないか、という事です。

私の用いた解法

次に、私の用いた解法を提示させていただきます。

(1) \[ S = \sum_{k=1}^n k {}_n \mathrm{C}_k \] とする。この時、$S$は以下のようにも表せる。 \[ S = \sum_{k=0}^n k {}_n \mathrm{C}_k = \sum_{k=0}^n (n-k) {}_n \mathrm{C}_{n-k} \] ここで、以下の計算を考える。 \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n k {}_n \mathrm{C}_k + \sum_{k=0}^n (n-k) {}_n \mathrm{C}_{n-k} &=& \sum_{k=0}^n \left( k{}_n \mathrm{C}_k + (n-k){}_n \mathrm{C}_{n-k} \right) \\ 2S &=& \sum_{k=0}^n \left( k {}_n \mathrm{C}_k + (n-k){}_n \mathrm{C}_k \right) \\ 2S &=& \sum_{k=0}^n n{}_n \mathrm{C}_k \\ 2S &=& n2^n \\ S &=& n2^{n-1} \end{eqnarray*}
(2) \begin{eqnarray*} &&\sum_{k=0}^n \frac{{}_n \mathrm{C}_k}{k+1} \\ &=& \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(k+1)!(n-k)!} \\ &=& \sum_{k=0}^n \frac{(n+1)!}{(n+1)(k+1)!(n-k)!} \\ &=& \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n {}_{n+1} \mathrm{C}_{k+1} \\ &=& \frac{1}{n+1} \left( \sum_{k=-1}^n {}_{n+1} \mathrm{C}_{k+1} - 1 \right) \\ &=& \frac{1}{n+1} \left( 2^{n+1} - 1 \right) \\ &=& \frac{2^{n+1} - 1}{n+1} \end{eqnarray*}

ところどころ分かりづらい式変形があったものの、思いつきやすい解法ではあると思います。
しかしながら、シグマで計算できない式を計算できる式に変形するというのは、積分出来ない関数を積分できる状態に変形するという事と非常に似ていますね。 (ちなみに、これは今回積分によって導かれたという事とは全く関係なく、シグマ全般に言える事です。)
シグマを積分のような要領で計算していく方法を研究出来そうです。
やはり正統派の式変形というものはいろいろな視点を見せてくれますね。
それでは、お疲れさまでした。

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