【テスト記事】代入の重要性

更新日時:2020/04/11

数学代入

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考察

プロローグ

どうも、安田です。今回は初記事という事で、少し抽象的な内容を選べましたが、頑張っていこうと思います。
今回の題材は、「代入」です。 物理では、計算の最終段階という立ち位置に代入があると思います。しかしながら、数学では、代入はもっと初期段階の重要操作だと私は考えています。

例題

少し問題を解いてみます。京都大学の入試問題です。

素数$p$, $q$を用いて \[ p^q + q^p \] と表される素数を全て求めよ。 (16 京都大学)

流石京都大学といったところでしょう、面倒そうな問題ですね。
私がこれを解く時、$p=2$で固定する所から固まりました。混乱した時、多くの方が探そうとするためいろいろ試すと思います。面白い事に、この問題はその「いろいろ試す」で解けてしまう問題です。
それでは、解いていきます。

解法と思考回路

まず、$p, q$の対称性を野放しにしておくと厄介なので、そこを固めておきます。

$p, q$ の対称性から, $p \leqq q$ ですべての場合が表せる.
$p \leqq q$ のみを考える.

ある数が素数かどうかを判定するとき最初に見る事は、偶数であるかどうかです。素数であるかどうかを判定しようとする姿勢から$p, q$がどちらも偶数、奇数である場合も除く事を発見できます。

$\bmod 2$ で考える.
$p, q$ が共に偶数である場合, \[ p^q + q^p \equiv 0^p + 0^q \equiv 0 \] よって素数ではない.
$p, q$ が共に奇数である場合, \[ p^q + q^p \equiv 1^p + 1^q \equiv 1 + 1 \equiv 0 \] よって, $p, q$は偶数, 奇数の組み合わせである. 偶数の素数は2のみであり2は最小の素数であるため,
$p=2, q \neq 2$

正直ここまで細かく書くと次の展開が見えますが、そうでない場合もあるので、一旦脳をリセットして考えます。
ここから$q$が何のときに $p^q + q^p$ が素数になるのか全然予想もつかないので、ここで「いろいろ試す」をします。
代入という作業をしてみましょう。$N=2^q + q^2$とします。 \begin{gather} q=3 の時 \\ N = 8 + 9 = 17 \\ q=5 の時\\ N = 32 + 25 = 57 = 3 \times 19 \\ q=7 の時\\ N = 128 + 49 = 177 = 3 \times 59 \\ q=11 の時 \\ N = 2048 + 121 = 2169 = 3 \times 723 \end{gather} これだけ結果が出れば、$q = 3$ 以外の時, $N$が3の倍数になることは予想できます。3の倍数の判定は、各桁の足し算をするだけですので、他より余計に気が付きやすいですね。
この予想が正しければ、解が導けます。実際正しいので、最後まで書きます。

$\bmod 3$ で考える.
$q$ が3の倍数でない場合
$q$ は奇数であるため \begin{eqnarray*} 2^q + q^2 & \equiv & (-1)^q + q^2 \\ & \equiv & -1 + q^2 \\ & \equiv & (q + 1)(q - 1) \end{eqnarray*} $q-1, q, q+1$ は3つの連続する数であるので, 3の倍数が含まれる.
$q$ は3の倍数ではないから, $q-1, q+1$ のどちらかは3の倍数である. よって, \[ 2^q + q^2 \equiv 0 \] ゆえに, $q=3$ 以外ありえない. $q=3$の時, $2^q + q^2 = 17$ より正しい.
よって, $(p, q)$ の組み合わせは$(2, 3)$のみである. すなわち求める解は, 17

このように代入は法則を発見するための重要な手段だと私は考えています。言わば、科学系の学問においての実験に当たるものだと考えています。

代入と整数の相性

私が代入を駆使する場面は、多くは整数関連です。数列も整数関連です。
整数というのは、等しい感覚で連続しているため、周期的に表れる性質を常に示すという事が多々あります。
$\sin(n\pi)$ は、$n$が整数値の時必ず0となります。
さまざまな性質が現れやすい整数には、代入という操作は合います。

実際、数列は代入して性質が見えて来たり、整数に関する予想なども代入した結果から立てられていくこともあります。

最後に

今回はテスト記事という意味も含んだ記事ですので、あまり有用性のない話をしました。
次記事からは、具体的な内容を書いていきます。
それでは、お疲れさまでした。

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