定義(b)において分割可能な図形へと促進させる構造について

1辺を共有する２つの3角形によってつくられる立体的な構造を考える。加えてこの構造を持ち、その共有された辺のうちの一方の頂点の周りの辺の数が3であるような立体を考える。 （つまり、共有された辺の一方の頂点には辺が追加されないような立体）

周りの辺の数が3であるこの頂点を独立させる事を考える。
この時、この構造の共有された辺のもう一方の頂点は周りの辺の数が必ず１減少し、共有されてない2頂点の周りの辺の数は増加しない。 よって、この構造を含む図形は定義(b)における分割可能になりやすい。

上記の構造を持たない図形について

上記の構造以外の構造は、分割可能かどうかに対して比較的保守的もしくは抑制的な性質を持つ。そこで、上記の構造を持たない図形の分割について考える。
上記の構造を持たない、面が$n$個の立体を立体Aとする。この時、すべての面に1～$n$の番号を割り当てる。 番号が$k$である面の頂点の数を$A_k$、周りの辺の数が3であ頂点の数を$B_k$、独立させる場合の数を$p_k$とする。
この時、四面体分割の場合の数$P$は、 \[ P \leqq \prod_{k=1}^{n} p_k \] である。
ここで、$p_k$の値について考える。
ある点を独立させる時、独立させる頂点が上記の構造の周りの辺の数が3である頂点の場合を除き、他の頂点の周りの辺の数が現象する事はない。
よって、以下の事が言える。ただし、$C_m$はカタラン数である。
\begin{equation} \begin{cases} (1) A_k - B_k = 0 \\ p_k \leqq C_{A_k - 2} \\ (2) A_k - B_k = 1 \\ p_k \leqq 1 \\ (3) A_k - B_k \geqq 2 \\ p_k = 0 \end{cases} \end{equation} これらは以下のように言い換える事が出来る。
\begin{equation} \begin{cases} (4)A_k - B_k \leqq 1 \\ p_k \leqq (1 - A_k + B_k)C_{A_k - 2} + A_k - B_k \\ (5)A_k - B_k \geqq 2 \\ p_k = 0 \end{cases} \end{equation} こうなる理由は以下の通りである。
(1)の場合は、独立の場合の数の最大値が、$A_k$角形の3角形分割の場合の数と一致するから。 (2)の場合は、周りの辺の数が4以上である頂点は必ず独立出来ないため、その頂点が独立のための分割面を構成する線分に属する分割方法しか存在しないから。 (3)の場合は、独立しない頂点は必ず１つまでしか存在できないから。
しかし、他の面が3,4角形と円から遠い図形である場合、それが他の面に干渉する可能性があるため、例外の存在を否定しきれない。
ここで、上記の構造が分割途中で生成される事を考える。
そのためには、まず周りの辺の数が3である頂点を持つ3角形を含む構造が必要である。

上図の周りの辺の３の部分を独立させず、隣接する3角形を作るように他の頂点を独立させる必要がある。 $X$近くの辺は省略して描いてあるが、周りの辺の数が$X$である。
$X$は周りの辺の数が4以上である事は確定しているため、独立できない。また、$A, B$を独立させるためには内部に線分が入るため、独立できない。
よって独立のためには$A, B, 3$の3頂点によって構成される面が分割面となる必要がある。しかし、この分割方法では周りの辺の数が３から４へと増加してしまうため、この方法でも独立は不可能となる
ゆえに、新たに上記の（促進させる）構造を生成する事は不可能である。
すなわち、(4)(5)は正しい。

以上の事より、促進させる構造が無い構造の(b)による四面体分割の場合の数は、
\begin{equation} P \leqq \prod_{k = 1}^{n} \left( (1 - A_k + B_k)C_{A_k - 2} + A_k - B_k \right) \end{equation} である。

3角形の面のみで構成された立体について

3角形の面のみで構成された立体では、独立ではなくその逆の方法で構成していく。
まず、3角形の面のみで構成された立体は、ある多面体の全ての面に錐を付加する事ですべて表す事が出来る。
立体の頂点の周りの辺の数は必ず3以上である。これを踏まえて、4角形以上の多角形に錐を付加する事を考える。

錐の頂点以外の頂点の周りの辺の数は必ず4以上になる。また、錐の頂点の周りの辺の数も4以上であるため、ここを独立する事は出来ない。よって、分割不可能となる。
多角形が3角形である場合は、付加されるのが三角錐すなわち四面体であるので、付加した部分をそのまま独立させる事が出来る。
以上の事より、付加する前の図形も3角形の面のみで構成された立体である必要がある。
数学的帰納法的な考え方から、3角形の面のみで構成された立体で定義(b)で分割可能なものは、大量の四面体をそれぞれ隣接させて生成できる図形のみであり、その分割方法は1通りである。